(Exemplo 01) Calcule o comprimento do arco da parábola semicúbica y^2 = x^3 entre os pontos (1,1) e (4,8).
O comprimento do arco é outro importante conceito do cálculo, que permite determinar o comprimento de uma curva em um determinado intervalo de valores. Essa medida é utilizada em diversas áreas da ciência, como em física, engenharia, geologia, entre outras.
Para entender melhor o conceito de comprimento do arco, é necessário ter conhecimento sobre integração e funções. Integração é o processo matemático que permite calcular a área sob uma curva, enquanto as funções são equações matemáticas que descrevem a relação entre duas variáveis.
No caso do comprimento do arco, temos uma função que representa uma curva e que descreve a relação entre as coordenadas x e y da curva. Essa função pode ser expressa de diversas formas, como por meio de equações cartesianas, polares ou paramétricas.
Para calcular o comprimento do arco, é necessário primeiro parametrizar a curva, ou seja, encontrar uma expressão que represente a curva em termos de um único parâmetro. Por exemplo, para uma curva descrita pela equação y = f(x), podemos parametrizá-la por x, de modo que a curva seja representada por (x, f(x)).
Uma vez que a curva foi parametrizada, o próximo passo é determinar o comprimento do arco em um determinado intervalo de valores. Isso pode ser feito por meio da fórmula do comprimento do arco, que é dada por:
L = ∫a^b √[1 + (dy/dx)^2] dx
onde a e b são os limites do intervalo de integração, e dy/dx é a derivada da função que representa a curva. Essa fórmula pode ser derivada a partir do Teorema de Pitágoras, que relaciona o comprimento do arco com a hipotenusa de um triângulo retângulo formado pelos incrementos infinitesimais dx e dy da curva.
Assim como no cálculo da área entre curvas, existem diversas técnicas para realizar a integração, como integração por partes, substituição trigonométrica, entre outras.
O comprimento do arco é uma medida importante em diversas áreas da ciência. Por exemplo, na física, o comprimento do arco pode ser usado para calcular o deslocamento de um objeto em movimento curvilíneo. Na engenharia, o comprimento do arco pode ser utilizado para calcular o tamanho de cabos e tubulações em sistemas complexos.
Vale destacar que o cálculo do comprimento do arco pode ser feito numericamente ou analiticamente. No caso da abordagem numérica, utiliza-se métodos como a regra do trapézio e a regra de Simpson para aproximar o comprimento do arco. Já na abordagem analítica, o comprimento do arco é obtido por meio da integração exata.
Em resumo, o comprimento do arco é um importante conceito do cálculo, que permite determinar o comprimento de uma curva em um determinado intervalo de valores. Essa medida pode ser calculada por meio da integração e é útil em diversas áreas da ciência.
ALGORITMO
% Definir a função a ser integrada
fun = @(x) sqrt(1 + (9*x^2)/(4*x^(3/2)));
% Definir os limites de integração
a = 1;
b = 4;
% Número de pontos de amostra
n = 100;
% Calcular o espaçamento do passo
h = (b-a)/(n-1);
% Calcular o valor da integral usando o método de Simpson
L = fun(a) + fun(b);
for i = 2:2:n-1
L = L + 4*fun(a+i*h);
end
for i = 3:2:n-2
L = L + 2*fun(a+i*h);
end
L = L*h/3;
% Imprimir o resultado
fprintf("O comprimento do arco é: %.4f unidades de comprimento.\n", L);
SOLUÇÃO
O comprimento do arco é: 6.2927 unidades de comprimento.
(Exemplo 02) Representação para o comprimento do arco em Matlab.
ALGORITMO
% Passo 1: Definir a função que representa a curva
f = @(x) [sqrt(x.^3); -sqrt(x.^3)];
% Passo 2: Plotar a curva no intervalo desejado
x = linspace(1, 4, 1000);
y = f(x);
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
hold on;
plot([1, 4], [1, 8], 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
hold off;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Curva y^2 = x^3 entre os pontos (1,1) e (4,8)');
% Passo 3: Calcular o comprimento do arco
a = 1;
b = 4;
dx = 0.001;
x = a:dx:b;
y = f(x);
dy_dx = gradient(y, dx);
L = trapz(sqrt(1 + dy_dx.^2), dx);
% Passo 4: Plotar o comprimento do arco na curva
t = linspace(1, 4, 100);
xt = interp1(x, t, 'linear');
yt = interp1(y, t, 'linear');
Lx = xt(1:end-1);
Ly = yt(1:end-1);
Larco = [0 cumsum(sqrt(1 + diff(yt).^2))];
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(Lx, Ly, 'r', 'LineWidth', 2);
hold off;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title(sprintf('Curva y^2 = x^3 entre os pontos (1,1) e (4,8)\nComprimento do arco: %.4f', L));
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
